Сферическая система координат

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$, где ${\displaystyle r}$ — кратчайшее расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$ — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис.1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Определения

Три координаты ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$ точки ${\displaystyle P}$ вводятся с помощью декартовой системы координат. Криволинейные координатные линии, проходящие через точку ${\displaystyle P}$, образуются при изменении одной координаты при фиксированных остальных. За направление координатной линии в точке ${\displaystyle P}$ принимается направление возрастания соответствующей координаты. Векторы базиса ${\displaystyle ({\mathsf {r}}_{r},{\mathsf {r}}_{\theta },{\mathsf {r}}_{\varphi })}$ в точке ${\displaystyle P}$ являются частными производными радиус - вектора ${\displaystyle OP}$ по переменным ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$ и составляют правую тройку.

• ${\displaystyle r\geqslant 0}$ — расстояние от начала координат до заданной точки ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}$ — угол между осью ${\displaystyle Z}$ и отрезком, соединяющим начало координат и точку ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <360^{\circ }}$ — угол между осью ${\displaystyle X}$ и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой ${\displaystyle P}$, на плоскость ${\displaystyle XY}$ (см. рис. 1).

Угол ${\displaystyle \theta }$ называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол ${\displaystyle \varphi }$ — азимутальным. Углы ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$ не имеют значения при ${\displaystyle r=0}$, а ${\displaystyle \varphi }$ не имеет значения при ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$ (то есть при ${\displaystyle \theta =0}$ или ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11^ru_en). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла ${\displaystyle \theta }$, используется угол между радиус-вектором точки r и плоскостью xy, равный ${\displaystyle 90^{\circ }}$ — ${\displaystyle \theta }$. Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой ${\displaystyle \theta }$. Широта может изменяться в пределах ${\displaystyle -90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }}$. При этом соглашении углы ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$ не имеют значения при ${\displaystyle r=0}$, так же как и в первом случае, а ${\displaystyle \varphi }$ не имеет значения при ${\displaystyle \cos(\theta )=0}$ (то есть при ${\displaystyle \theta =-90^{\circ }}$ или ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$).

Часто, по аналогии с цилиндрической системой координат ${\displaystyle (r,\;\varphi ,\;{\mathsf {z}})}$, которая является правой, используют сферическую систему координат ${\displaystyle (r,\;\varphi ,\;\theta )}$, где изменен порядок следования координат в отличие от определенного выше. Такая система координат является левой, так как векторы базиса ${\displaystyle ({\mathsf {r}}_{r},{\mathsf {r}}_{\varphi },{\mathsf {r}}_{\theta })}$ при определении области изменения угла ${\displaystyle \theta :}$${\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}$ составляют левую тройку векторов (луч из точки ${\displaystyle P}$, направленный в указанной последовательности на концы векторов, двигается против часовой стрелки), в то время как исходная системе координат ${\displaystyle (x,y,z)}$ является правой. Для векторных операций при переходе от одной системы координат к другой существенно, чтобы правая система переходила в правую. Сферическая система координат ${\displaystyle (r,\;\varphi ,\;\theta ')}$ будет правой, если определить угол ${\displaystyle \theta '}$ следующим образом: ${\displaystyle \theta '=180^{\circ }-\theta ,0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}$.

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$

Обратно, от декартовых к сферическим:

${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos \left({\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right).\end{cases}}}$

(здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений ${\displaystyle \varphi }$ вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты ${\displaystyle \theta }$).

Якобиан преобразования к сферическим координатам имеет вид:

${\displaystyle J=r^{2}\sin \theta .\ }$

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$

Обратно от цилиндрических к сферическим:

${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\rho }{z}}\right),\\\varphi =\varphi .\end{cases}}}$

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:

${\displaystyle J=r.\ }$

Дифференциальные характеристики

Вектор ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} }$, проведённый из точки ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ в точку ${\displaystyle (r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )}$, равен

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,}$

где

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}$

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения ${\displaystyle r,\theta ,\varphi }$, соответственно, а ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}}$ — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

${\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle \det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\ }$
• Квадрат дифференциала длины дуги:

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.}$

• Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .}$

• Символы Кристоффеля ${\displaystyle \{r,\;\theta ,\;\varphi \}}$:

${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,}$

${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},}$

${\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .}$

Остальные равны нулю.

См. также

• Углы Эйлера
• Гиперсфера § Гиперсферические координаты

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.