Соотношение Майера

Для идеального газа справедливо соотношение Майера:

${\displaystyle C_{p}-C_{v}=R}$,

где ${\displaystyle R}$ — универсальная газовая постоянная, ${\displaystyle C_{p}}$ — молярная теплоёмкость при постоянном давлении, ${\displaystyle C_{v}}$ — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики, примененного к изобарному процессу в идеальном газе:

${\displaystyle \delta Q=\mathrm {d} U+\delta A,\qquad (1)}$

в рассматриваемом случае:

${\displaystyle \delta Q=C_{p}\mathrm {d} T,}$

${\displaystyle \delta A=\mathrm {d} (pV)=p\mathrm {d} V=R\mathrm {d} T.\qquad (2)}$

В то же время при изохорном процессе работа равна нулю, то есть

${\displaystyle \delta Q=\mathrm {d} U,}$

или

${\displaystyle \mathrm {d} U=C_{v}\mathrm {d} T.\qquad (3)}$

Так как исходя из закона Джоуля — Коппа энергия одной молекулы равна ${\displaystyle E=3nkT}$, то и внутренняя энергия в целом и при изобарном процесс будет определяться по соотношению (3) . Следовательно, подставляя (2) и (3) в (1) получаем искомое уравнение.

Очевидно, уравнение Майера показывает, что различие теплоёмкостей газа равно работе, совершаемой одним молем идеального газа при изменении его температуры на 1 K, и разъясняет смысл универсальной газовой постоянной ${\displaystyle R}$.

Эти соотношения впервые были обоснованы в 1845 году немецким исследователем Г. Майером в его научной публикации «Органическое движение в его связи с обменом веществ» ( нем. Die organische Bewegung im Zusammenhang mit dem Stoffwechsel ).

Общие понятия

Если в результате теплообмена телу передается некоторое количество теплоты, то внутренняя энергия тела и его температура меняются. Количество теплоты Q, которая необходима для нагревания 1 кг вещества на 1 К называют удельной теплоемкостью вещества c

${\displaystyle c={\frac {Q}{m\Delta T}}.}$

Часто используют для удобства молярную теплоемкость ${\displaystyle C_{m}}$:

${\displaystyle C_{m}=M\cdot c.}$

Определенная таким способом теплоемкость не является однозначной характеристикой вещества. Согласно первому закону термодинамики изменение внутренней энергии тела зависит не только от полученного количества теплоты, но и от работы, выполненной телом. В зависимости от условий, при которых осуществлялся процесс теплопередачи, тело могло осуществлять различную работу. Поэтому одинаковое количество теплоты, переданное телу, может вызвать различные изменения его внутренней энергии и, следовательно, температуры.

Такая неоднозначность определения теплоемкости характерна только для газообразного вещества. При нагревании жидких и твердых тел их объем практически не меняется, и работа расширения стремится к нулю. Поэтому все количество теплоты, полученное телом, идет на изменение его внутренней энергии. В отличие от жидкостей и твердых тел, газ в процессе теплопередачи может существенно изменять свой объем и осуществлять при этом работу. Поэтому теплоемкость газообразного вещества зависит еще от характера термодинамического процесса.

Вывод

Обычно рассматривают два значения теплоемкости газов: ${\displaystyle C_{vm}}$ — молярная теплоемкость в изохорном процессе (V = const) и ${\displaystyle C_{pm}}$ — молярная теплоемкость в изобарном процессе (p = const).

В термодинамическом процессе при постоянном объеме газ работы не осуществляет: A = 0. С первого закона термодинамики для 1 моля газа следует:

${\displaystyle Q_{v}=C_{vm}\Delta T=\Delta U.}$

Изменение ΔU внутренней энергии газа прямо пропорционально изменения ΔT его температуры.

Для процесса, ход которого происходит при постоянном давлении первый закон термодинамики дает:

${\displaystyle Q_{p}=\Delta U+p(V_{2}-V_{1})=C_{vm}\Delta T+p\Delta V,}$

где ΔV — изменение объема одного моля идеального газа при изменении его температуры на ΔT. Отсюда следует:

${\displaystyle C_{pm}={\frac {Q_{p}}{\Delta T}}=C_{vm}+p{\frac {\Delta V}{\Delta T}}.}$

отношение ${\displaystyle {\frac {\Delta V}{\Delta T}}}$ может быть определено из уравнения состояния идеального газа, записанного для одного моля:

${\displaystyle pV=RT.}$

При p=const

${\displaystyle p\Delta V=R\Delta T}$ або ${\displaystyle {\frac {\Delta V}{\Delta T}}={\frac {R}{p}}.}$

Таким образом, соотношение, описывающее связь между молярными теплоемкости примет вид (формула Майера)

${\displaystyle C_{pm}=C_{vm}+R.}$

молярная теплоемкость ${\displaystyle C_{pm}}$ газа в термодинамическом процессе, происходящем при постоянном давлении всегда больше молярную теплоемкость ${\displaystyle C_{vm}}$ в процессе при постоянном объеме.

Отношение теплоемкостей в процессах с постоянным давлением и постоянным объемом носит название «показатель адиабаты» (${\displaystyle \gamma }$) и играет важную роль в термодинамике :

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{pm}}{C_{vm}}}.}$

Из уравнения Майера следует, что:

${\displaystyle c_{vm}={\frac {R}{\gamma -1}}}$ или ${\displaystyle c_{v}={\frac {R}{(\gamma -1)M}},}$

${\displaystyle c_{pm}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}}$ или ${\displaystyle c_{p}={\frac {\gamma R}{(\gamma -1)M}}.}$

Ссылки

• Вывод формулы Майера с учетом закона Джоуля
• Яворський Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Довідник з фізики для інженерів та студентів вищих навчальних закладів / Переклад з 8-го переробл. і випр. вид. Т.: Навчальна книга — Богдан, 2007. — 1040 с. — ISBN 966-692-818-3
• Савельев И. В. Курс общей физики. Т.1: Механика. Молекулярная физика. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1982. — 432 с.

Это заготовка статьи по физике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.