Законы Кеплера

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение ${\displaystyle a}$ имеет форму

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\hat {\mathbf {r} }}.}$

Вспомним, что в полярных координатах

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}$

В координатной форме запишем

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),}$

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0.}$

Подставляя ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$ и ${\displaystyle {\dot {r}}}$ во второе уравнение, получим

${\displaystyle r{d{\dot {\theta }} \over dt}+2{dr \over dt}{\dot {\theta }}=0,}$

которое упрощается

${\displaystyle {\frac {d{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=-2{\frac {dr}{r}}.}$

После интегрирования запишем выражение

${\displaystyle \ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+\ln \ell ,}$

${\displaystyle \ln \ell =\ln r^{2}+\ln {\dot {\theta }},}$

${\displaystyle \ell =r^{2}{\dot {\theta }},}$

для некоторой константы ${\displaystyle \ell }$, которая является удельным угловым моментом (${\displaystyle \ell =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$).

Пусть

${\displaystyle r={\frac {1}{u}},}$

${\displaystyle {\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }},}$

${\displaystyle {\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.}$

Уравнение движения в направлении ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ становится равным

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {1}{\ell ^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right).}$

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

${\displaystyle f\left({1 \over u}\right)=f(r)=-\,{GM \over r^{2}}=-GMu^{2}}$

где ${\displaystyle G}$ — универсальная гравитационная константа и ${\displaystyle M}$ — масса звезды.

В результате

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}.}$

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

${\displaystyle u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right].}$

для произвольных констант интегрирования ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \theta _{0}}$.

Заменяя ${\displaystyle u}$ на 1/${\displaystyle r}$ и полагая ${\displaystyle \theta _{0}=0}$, получим:

${\displaystyle r={1 \over u}={\frac {\ell ^{2}/GM}{1+e\cos \theta }}.}$

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом ${\displaystyle e}$ и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\varepsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot V_{B}\,dt}$

${\displaystyle (1-\varepsilon )\cdot V_{A}=(1+\varepsilon )\cdot V_{B}}$

${\displaystyle V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}}$

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, запишем

${\displaystyle {\frac {mV_{A}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1-\varepsilon )a}}={\frac {mV_{B}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1+\varepsilon )a}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{A}^{2}}{2}}-{\frac {V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{(1-\varepsilon )a}}-{\frac {GM}{(1+\varepsilon )a}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{(1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepsilon )}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\left(V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon -1+\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}\right)}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac {2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}\right)}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}-(1-\varepsilon )^{2}}{(1-\varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\epsilon +\epsilon ^{2}-1+2\epsilon -\epsilon ^{2}}{(1-\epsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\epsilon }{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot 4\epsilon ={\frac {4GM\epsilon \cdot (1-\epsilon )^{2}}{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}$

${\displaystyle V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\epsilon )}{a\cdot (1+\epsilon )}}}.}$

Теперь, когда мы нашли ${\displaystyle V_{B}}$, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}\,dt}{dt}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}}$

${\displaystyle ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\epsilon )}{a\cdot (1+\epsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}$

Однако полная площадь эллипса равна ${\displaystyle \pi a{\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a}$ (что равно ${\displaystyle \pi ab}$, поскольку ${\displaystyle b={\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a}$). Время полного оборота, таким образом, равно

${\displaystyle T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a}$

${\displaystyle T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}=\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}$

${\displaystyle T={\frac {2\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}{\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}={\frac {2\pi a^{2}}{\sqrt {GMa}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {GM}}}{\sqrt {a^{3}}}}$

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}.}$

Заметим, что если масса ${\displaystyle m}$ не пренебрежимо мала по сравнению с ${\displaystyle M}$, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы ${\displaystyle M+m}$ (см. приведённая масса). При этом массу ${\displaystyle M}$ в последней формуле нужно заменить на ${\displaystyle M+m}$:

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}.}$

Рассмотрим планету как точку массой m, вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:

1. перигелий с радиус-вектором ${\displaystyle r_{1}=a-c}$, скоростью ${\displaystyle V_{1}}$;
2. афелий с радиус-вектором ${\displaystyle r_{2}=c+a}$, скоростью ${\displaystyle V_{2}}$.

Запишем закон сохранения момента импульса

${\displaystyle mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2}}$

и закон сохранения энергии

${\displaystyle {\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{2}}}}$ ,

где M - масса Солнца.

Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке "перигелий":

${\displaystyle V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}}$ .

Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):

${\displaystyle V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}}}$ .

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:

${\displaystyle S_{ellipse}=\pi ab}$

где ${\displaystyle a}$ - длина большой полуоси, ${\displaystyle b}$ - длина малой полуоси орбиты.

С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:

${\displaystyle S_{ellipse}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}}$ .

Следовательно,

${\displaystyle T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}=\pi ab}$ .

Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения

${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}$

${\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

Подставим в формулу площади эллипса:

${\displaystyle T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab}$

Откуда, окончательно получим:

${\displaystyle {\frac {T}{a^{3/2}}}=const}$

или в традиционном виде

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{a^{3}}}=const.}$